Codage des entiers

Info

Dans toute la suite, sauf mention contraire, les nombres seront codés sur 1 octet (8 bits).

1. Les nombres entiers en binaire non signé

L'expression "non signé" signifie que la contrainte du signe n'existe pas : tous les nombres sont considérés comme étant positifs.

Nous avons déjà vu comment ces nombres se codaient en binaire.

Sur un octet, le nombre minimal qu'on puisse coder est 00000000. C'est l'entier naturel 0.
Le nombre maximal qu'on puisse coder est 11111111. C'est l'entier naturel 255.

Exercice :

Quel est le plus grand entier non signé codable sur 16 bits ?
... sur 32 bits ?
... $n$ bits ?

Correction

$N=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{15}= 65535$
$N=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{31}= 4294967295$
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $1+2+2^2+2^3+\dots+2^{n}=2^{n+1}-1$ (formule de la somme des termes d'une suite géométrique de raison 2).

Exercice sur l'addition binaire :

Effectuer la somme des deux nombres binaires 00001101 et 00001011.
Vérifier que le résultat est cohérent en base 10.

Correction

Cette addition correspond à $13+11=24$

A retenir

Sur $n$ bits, on peut stocker $2^n$ entiers positifs.
Le plus grand entier positif que l'on peut représenter est $2^{n}-1$.
Pour évaluer le nombres de bits minimum nécessaires pour l'écriture binaire d'un entier positifn il faut trouver la plus petite puissance de 2 qui soit strictement supérieure à l'entier à écrire.

2. Les nombres entiers en binaire signé

Méthode du complément à 2

Les nombres positifs sont représentés comme vu au premier chapitre mais le bit le plus fort vaut forcément zéro.
Les nombres négatifs sont obtenus en deux étapes:
- On inverse les bits de l'écriture binaire de sa valeur absolue. (Complément à 1)
- On ajoute 1 au nombre obtenu. C'est le complément à 2.

Exemple

Représenton le nombre $-38$ sur 8 bits.

Le nombre $38_{10}$ en binaire est $100110$ et donc sur 8 bits: $0010010$

Son complément à 1 est $11011001$

On ajoute 1, ce qui nous donne: $11011010$

On a donc: $-38_{10} = 11011010_2$

Exercice :

Donner l'écriture binaire sur un octet du nombre $-13$.

Correction

Commençons par écrire le nombre 13 en binaire. Il s'écrit `00001101`. - en prenant le complément à 1 de chaque bit, on obtient `11110010`. - en ajoutant 1 à ce dernier nombre, on obtient `11110011`. Le nombre $-13$ s'écrit donc `11110011`.

Travail inverse : passage du binaire signé au nombre relatif

Ce sont les même méthodes.

Si le bit fort (le plus à gauche) est un 1, notre nombre est négatif et il faut faire le complément à 2, sinon il est positif et on convertit comme pour tout entier naturel.

Exemple à connaitre

Essayons avec 1111 1101

Méthode 1: 1111 1101 devient 0000 0010 puis on ajoute 1 donc 0000 0011, ce qui donne 3, et donc $-3$.

Méthode 2: 1111 1101 = 253 et $2^8-253=3$ , puisqu'il y a un 1 en bit fort, cela fait $-3$

Exercices :

En binaire signé, à quel nombre correspond $11110001$ ?
En binaire signé, quel est le plus grand nombre que l'on puisse écrire sur un octet ?
Quel est le plus petit nombre ?

Correction

1. $11110001$ devient $00001110$ puis on ajoute 1 $00001111$ qui donne 15 et donc $-15$ 2. Le plus grand nombre est `01111111`, soit $+127$. 3. Le nombre minimal est $-128$.

Dernière mise à jour: 2022-09-04